№АР14869558

Руководитель проекта Отелбаев Мухтарбай Отелбаевич, д.ф.-м.н., профессор

Цель проекта. Развитие теоретико-функционального подхода по исследованию разрешимости абстрактных параболических уравнений. Создание в трехмерной области заданного теплового поля и создание алгоритма управления решением этой задачи, при наличии лазерных источников тепла.

Актуальность. Уравнения Навье-Стокса, описывающие течение вязкой несжимаемой жидкости, в течение многих десятилетий привлекают внимание ученых, занимающихся проблемами разрешимости уравнений в частных производных и специалистов в области численного анализа из-за многочисленных приложений. Несмотря на такой интерес, до сих пор остается открытым вопрос существования и единственности решения нестационарных уравнений Навье-Стокса в случае трех пространственных переменных. Хотя теоретическому исследованию краевых задач для стационарных и нестационарных уравнений Навье-Стокса посвящено, начиная с вышедших в 30-е годы прошлого столетия знаменитых работ французского математика J.Leray, несколько тысяч или десятков тысяч работ в теории уравнений Навье-Стокса осталось еще немало "белых пятен". Исследователи до сих пор не смогли установить такой функциональный класс, в котором удалось бы доказать глобальную (т.е. на любом интервале [0,T] времени) разрешимость и единственность решения начально-краевой задачи, например, задачи Дирихле на границе области течения для трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса. Указанная проблема оказалась настолько важной, сложной и запутанной, что вошла в знаменитый список семи важнейших задач XXI столетия. Более подробную информацию об указанных проблемах можно прочитать на сайте американского математического института Clay Mathematics Institute. О возможных решениях данной проблемы можно прочитать в статье О.А.Ладыженской, посвященной ее детальному анализу.

Спектральная теория операторов дает эффективный инструмент исследования численных задач математики, в частности она позволяет исследовать абстрактные дифференциальные уравнения (линейные и нелинейные) с операторными коэффициентами, которые расширяют области применимости методов.

Исследования по теме носят, в основном, теоретический и фундаментальный характер. Их научная значимость обусловлена именно глубоким уровнем фундаментальности получаемых результатов. Кроме того, научная значимость заявляемых исследований обусловлена возможным применением для моделирования технологических процессов глубоких, современных результатов теории дифференциальных операторов и созданием новых собственных методов исследования и анализа. В Казахстане в последние годы отмечается бурный рост социального спроса на фундаментальные научные исследования. Настоящий проект отвечает такому социальному спросу.

Значимость проекта в национальном и международном масштабе состоит в том, что исследуемые объекты – уравнения Навье-Стокса для однородных и неоднородных жидкостей и с одной стороны имеют важное значение в самой математической науке, в механике, физике, геофизике, химии и других естественно-научных дисциплинах. А с другой стороны, к таким задачам имеется существенный интерес с чисто математической точки зрения. Поэтому полученные результаты являются актуальными и будут понятны научным работникам всего мира. И могут быть ими использованы для дальнейших исследований. Это позволяет говорить о международном масштабе значимости проекта.

Данный проект является прямым продолжением проводимых авторами исследований, шифр программы AP08857604 (Краевые и обратные задачи для уравнений Навье-Стокса однородных, неоднородных жидкостей, тепловой конвекции и Кельвина-Фойгта, 2020-2022гг.), грантового финансирования Министерства образования и науки Республики Казахстана.

Принципиальное отличие идей Проекта от существующих аналогов. Основное принципиальное отличие настоящего проекта в том, что он опирается на существования решения задач для конечномерных уравнений. Далее из этих результатов создаются алгоритмы численного решения задачи I, II, III управления точечным источником тепла в случае необходимости создания заданного распределения тепла в объемном теле. Отличие от наших собственных предыдущих исследований в том, что в прошлых работах мы существенно опирались на бесконечномерным операторным уравнениям. В данном проекте этого условия не требуется.

Ожидаемые результаты:

• Будут приведены основные задачи и построены аппроксимирующие их конечномерные уравнения;
• Будут получены для некоторого класса конечномерных задач априорные оценки не зависящие от размерности аппроксимации, позволяющие переходить к пределу;
• Будут приведены задачи (в частности, параболические), для которых верны сильные априорные оценки. Эти задачи включают исследуемые нами уравнения, записанные для точечных (но подвижных) источников тепла;
• Будут применены исследования при решении задач математической физики (уравнение Навье-Стокса);
• Будут созданы алгоритмы численного решения задачи управления точечным источником тепла в случае необходимости создания заданного распределения тепла в объемном теле (трехмерной области).

Состав исследовательской группы: