№АР14869558

Руководитель проекта Отелбаев Мухтарбай Отелбаевич, д.ф.-м.н., профессор

Цель проекта. Развитие теоретико-функционального подхода по исследованию разрешимости абстрактных параболических уравнений. Создание в трехмерной области заданного теплового поля и создание алгоритма управления решением этой задачи, при наличии лазерных источников тепла.

Актуальность. Уравнения Навье-Стокса, описывающие течение вязкой несжимаемой жидкости, в течение многих десятилетий привлекают внимание ученых, занимающихся проблемами разрешимости уравнений в частных производных и специалистов в области численного анализа из-за многочисленных приложений. Несмотря на такой интерес, до сих пор остается открытым вопрос существования и единственности решения нестационарных уравнений Навье-Стокса в случае трех пространственных переменных. Хотя теоретическому исследованию краевых задач для стационарных и нестационарных уравнений Навье-Стокса посвящено, начиная с вышедших в 30-е годы прошлого столетия знаменитых работ французского математика J.Leray, несколько тысяч или десятков тысяч работ в теории уравнений Навье-Стокса осталось еще немало "белых пятен". Исследователи до сих пор не смогли установить такой функциональный класс, в котором удалось бы доказать глобальную (т.е. на любом интервале [0,T] времени) разрешимость и единственность решения начально-краевой задачи, например, задачи Дирихле на границе области течения для трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса. Указанная проблема оказалась настолько важной, сложной и запутанной, что вошла в знаменитый список семи важнейших задач XXI столетия. Более подробную информацию об указанных проблемах можно прочитать на сайте американского математического института Clay Mathematics Institute. О возможных решениях данной проблемы можно прочитать в статье О.А.Ладыженской, посвященной ее детальному анализу.

Спектральная теория операторов дает эффективный инструмент исследования численных задач математики, в частности она позволяет исследовать абстрактные дифференциальные уравнения (линейные и нелинейные) с операторными коэффициентами, которые расширяют области применимости методов.

Исследования по теме носят, в основном, теоретический и фундаментальный характер. Их научная значимость обусловлена именно глубоким уровнем фундаментальности получаемых результатов. Кроме того, научная значимость заявляемых исследований обусловлена возможным применением для моделирования технологических процессов глубоких, современных результатов теории дифференциальных операторов и созданием новых собственных методов исследования и анализа. В Казахстане в последние годы отмечается бурный рост социального спроса на фундаментальные научные исследования. Настоящий проект отвечает такому социальному спросу.

Значимость проекта в национальном и международном масштабе состоит в том, что исследуемые объекты – уравнения Навье-Стокса для однородных и неоднородных жидкостей и с одной стороны имеют важное значение в самой математической науке, в механике, физике, геофизике, химии и других естественно-научных дисциплинах. А с другой стороны, к таким задачам имеется существенный интерес с чисто математической точки зрения. Поэтому полученные результаты являются актуальными и будут понятны научным работникам всего мира. И могут быть ими использованы для дальнейших исследований. Это позволяет говорить о международном масштабе значимости проекта.

Данный проект является прямым продолжением проводимых авторами исследований, шифр программы AP08857604 (Краевые и обратные задачи для уравнений Навье-Стокса однородных, неоднородных жидкостей, тепловой конвекции и Кельвина-Фойгта, 2020-2022гг.), грантового финансирования Министерства образования и науки Республики Казахстана.

Принципиальное отличие идей Проекта от существующих аналогов. Основное принципиальное отличие настоящего проекта в том, что он опирается на существования решения задач для конечномерных уравнений. Далее из этих результатов создаются алгоритмы численного решения задачи I, II, III управления точечным источником тепла в случае необходимости создания заданного распределения тепла в объемном теле. Отличие от наших собственных предыдущих исследований в том, что в прошлых работах мы существенно опирались на бесконечномерным операторным уравнениям. В данном проекте этого условия не требуется.

Ожидаемые результаты:

• Будут приведены основные задачи и построены аппроксимирующие их конечномерные уравнения;
• Будут получены для некоторого класса конечномерных задач априорные оценки не зависящие от размерности аппроксимации, позволяющие переходить к пределу;
• Будут приведены задачи (в частности, параболические), для которых верны сильные априорные оценки. Эти задачи включают исследуемые нами уравнения, записанные для точечных (но подвижных) источников тепла;
• Будут применены исследования при решении задач математической физики (уравнение Навье-Стокса);
• Будут созданы алгоритмы численного решения задачи управления точечным источником тепла в случае необходимости создания заданного распределения тепла в объемном теле (трехмерной области).

Достигнутые результаты:

• Проведено исследование начально-краевых задач для дифференциальных уравнений с ограниченными операторами.
• Доказана единственность и существование решений указанных задач.
• Разработаны алгоритмы управления точечными источниками тепла для ряда математических моделей.
• Исследованы абстрактные уравнения типа Навье-Стокса в функциональных пространствах:
• Предложены априорные оценки решений.
• Разработан алгоритм численного решения для задач управления тепловым полем.
• Получены практические приложения результатов в моделировании процессов в медицине, геофизике и других областях.

Список публикаций (2022–2024):

2023 год:

1. Б.Е. Кангужин, Б.Д. Кошанов, Критерии единственности решения нелокальной по времени задачи для дифференциально-операторного уравнения l(·) − a с оператором Трикоми A // Дифференциальные уравнения, 2023, T. 59, № 1, стр. 4-14 (Kanguzhin, B.E., Koshanov, B.D. Solution Uniqueness Criteria in a Time-Nonlocal Problem for the Operator Differential Equation l(⋅)−A with the Tricomi Operator A. Differential Equations 59, 1–12 (2023). https://doi.org/10.1134/S0012266123010019 ) (Scopus процентиль 46, Web of Science Q2)
2. Aitzhanov, S.; Bekenayeva, K.; Abdikalikova, Z. Boundary Value Problem for a Loaded Pseudoparabolic Equation with a Fractional Caputo Operator. Mathematics 2023, 11, 3987. https://doi.org/10.3390/math11183987 (Scopus проц. 90, Web of Science Q1)
3. B. Koshanov, M. Bakytbek, On Fredholm Solvability and on the Index of the Generalized Neumann Problem for an Elliptic Equation of High Order on a Plane // Extended Abstracts MWCAPDE 2023, https://doi.org/10.1007/978-3-031-41665-1, 167-176 pp.
4. Жусупова Д., Абдикаликова З., Ыдырыс А., Бургумбаева С., Моделирование работы газокомпрессорной станции для минимизации затрат топлива на защиту от помпажной зоны // конференция Современные проблемы дифференциальных уравнений и их приложения, Ташкент, 2023, с.159-161
5. Bekenayeva K.S., Aitzhanov S.E., Solvability of a pseudoparabolic equation with a fractional Caputo derivative // конференция Современные проблемы дифференциальных уравнений и их приложения, Ташкент, 2023, с.169-170
6. Koshanov B.D., Sabirzhanov M.T., On some nonlocal boundary value problems for second order elliptic systems // конференция Современные проблемы дифференциальных уравнений и их приложения, Ташкент, 2023, с.181-184
7. Отелбаев М., Кошанов Б.Д., Жусупова Д.С., Кожобекова П.Ж., Об одной задаче управления точечным источником тепла и ее применение в медицине // конференция Современные проблемы дифференциальных уравнений и их приложения, Ташкент, 2023, с.248-249
8. Отелбаев М., Кожобекова П., Создание теплового поля с помощью электромагнитных полей // конференция Современные проблемы дифференциальных уравнений и их приложения, Ташкент, 2023, с.105-106

2024 год:

1. Kanguzhin, B.; Koshanov, B., Criteria for the Uniqueness of a Solution to a Differential-Operator Equation with Non-Degenerate Conditions // Symmetry 2024, 16, 210, https://doi.org/10.3390/sym16020210 (Scopus процентиль94, Web of Science Q2)
2. Dinara Zhussupova, Mukhtarbay Otelbaev, Saule Burgumbayeva, Modeling Gas Compressor Station Operation to Minimize Fuel Costs for Surge Zone Protection // International Journal of Rotating Machinery, Volume 2024, Article ID 5560308, 18 pages, https://doi.org/10.1155/2024/5560308 (Scopus процентиль 46, Web of Science Q4)
3. S.Burgumbayeva, D.Zhussupova, B.Koshkarova, Mathematical modelling of the process of natural gas transportation via pipe networks using crossing-branch method // JMMCS №1(121), 2024, DOI: https://doi.org/10.26577/JMMCS202412112 (КОКСОН)
4. S.E. Aitzhanov, A.A. Issakhov, A.S. Kassymbekova, Z.Abdikalikova, Solvability of inverse problem of a pseudoparabolic equation with fractional Caputo derivative // Solvability of inverse problem of a pseudoparabolic equation with fractional Caputo derivative . Journal of Mathematics, Mechanics and Computer Science, 2024,  124(4), 3–25. https://doi.org/10.26577/JMMCS2024-v124-i4-a1 (КОКСОН)
5. A. Ydyrys, Real-Time Monitoring of Athletes’ Heart Conditions During Intensive Fitness Using a Wearable Device with Abstract Operator Equations // Retos, в печати (Scopus процентиль 68, Web of Science Q3)
6. Кошанов Б.Д., Султангазиева Ж.Б., О корректности нелокальных краевых задач с интегральным условием для квазигиперболических уравнений высокого порядка // конференция Неклассические уравнения математической физики, Ташкент, 2024, с.178
7. B. Koshanov, N. Oralbekova, Green’s functions of some boundary value problems for polyharmonic operators and their correct narrowings // конференция Неклассические уравнения математической физики, Ташкент, 2024, с.85

Состав исследовательской группы: