№АР08857604

Руководитель проекта Отелбаев Мухтарбай Отелбаевич, д.ф-м.н., профессор (otelbaevm@mail.ru)

Наименование приоритетного направления: Научные исследования в области естественных наук. Фундаментальные и прикладные исследования в области математики и механики

Цель проекта. Разработка и развитие теории прямых и обратных задач Навье-Стокса для однородных и неоднородных жидкостей, системы Кельвина-Фойгта, тепловой конвекций и магнитной гидродинамики, а также их приближенное решение.

Актуальность. Уравнения Навье-Стокса, описывающие течение вязкой несжимаемой жидкости, в течение многих десятилетий привлекают внимание ученых, занимающихся проблемами разрешимости уравнений в частных производных и специалистов в области численного анализа из-за многочисленных приложений. Несмотря на такой интерес, до сих пор остается открытым вопрос существования и единственности решения нестационарных уравнений Навье-Стокса в случае трех пространственных переменных. Хотя теоретическому исследованию краевых задач для стационарных и нестационарных уравнений Навье-Стокса посвящено, начиная с вышедших в 30-е годы прошлого столетия знаменитых работ французского математика J.Leray, несколько тысяч или десятков тысяч работ в теории уравнений Навье-Стокса осталось еще немало "белых пятен". Исследователи до сих пор не смогли установить такой функциональный класс, в котором удалось бы доказать глобальную (т.е. на любом интервале [0,T] времени) разрешимость и единственность решения начально-краевой задачи, например, задачи Дирихле на границе области течения для трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса. Указанная проблема оказалась настолько важной, сложной и запутанной, что вошла в знаменитый список семи важнейших задач XXI столетия ("Millennium Prize Problems").

Предполагается доказать глобальные теоремы существования и единственности решения начально-краевой задачи (9)-(12). Предварительно модифицировав надлежащим образом обобщенный метод последовательных приближений Гюнтера-Лихтенштейна, рассматривая получение классических решений задачи. Для этого надо получить априорные оценки, достаточные для построения оператора Грина с использованием оценок потенциала и соответствующих теорем вложения С.Л.Соболева. Математическая модель рассматриваемой задачи (9)-(12) содержит уравнение типа Эйлера для несжимаемой жидкости, известно что, до сих пор не доказана теорема глобального существования и единственности решения в трехмерном случае. Для рассматриваемой здесь системы ожидается проведение значительного упрощения и улучшения результатов по сравнению с системой уравнений Эйлера, благодаря модификации методов последовательных приближений Гюнтера-Лихтенштейна апробированного нами в теории других задач и вычислительной практике. Это связано с лучшими сглаживающими свойствами оператора управления, каковой здесь выражается через оператора Грина системы Стокса.

Исследования по теме носят, в основном, теоретический и фундаментальный характер. Их научная значимость обусловлена именно глубоким уровнем фундаментальности получаемых результатов. Кроме того, научная значимость заявляемых исследований обусловлена возможным применением для моделирования технологических процессов глубоких, современных результатов теории дифференциальных операторов и созданием новых собственных методов исследования и анализа. В Казахстане в последние годы отмечается бурный рост социального спроса на фундаментальные научные исследования. Настоящий проект отвечает такому социальному спросу.

Значимость проекта в национальном и международном масштабе состоит в том, что исследуемые объекты– уравнения Навье-Стокса для однородных и неоднородных жидкостей и с одной стороны имеют важное значение в самой математической науке, в механике, физике, геофизике, химии и других естественно-научных дисциплинах. А с другой стороны, к таким задачам имеется существенный интерес с чисто математической точки зрения. Поэтому полученные результаты являются актуальными и будут понятны научным работникам всего мира. И могут быть ими использованы для дальнейших исследований. Это позволяет говорить о международном масштабе значимости проекта.

Данный проект является прямым продолжением ранее проводимых авторами исследований, шифр программы AP05132041 (Теория и методы решения прямых и обратных задач для уравнений Навье-Стокса и уравнений в частных производных 2018-2020 гг.), грантового финансирования Министерства образования и науки Республики Казахстана.

Ожидаемые результаты:

• Будет доказана однозначная разрешимость начально-краевой задачи для уравнения Навье-Стокса в функциональных пространствах.
• Будет доказано существование и единственность классического решения начально-краевой задачи для системы Стокса неоднородной жидкости. (2020-2021)
• Будет доказаны существование и единственность обобщенного решения начально-краевой задачи для системы Стокса неоднородной жидкости. (2020-2021)
• Будет получено более точное значение для неоднородных граничных скоростей и начальных данных для плотности начально-краевой задачи для системы Навье-Стокса неоднородной жидкости. (2022)
• Будет доказано глобальное существование в общем случае, когда начально-краевой задачи для модифицированной модели Навье-Стокса неоднородной жидкости. (2022)
• Будут доказаны теоремы существования и единственности линейной обратной задачи определения правой части для уравнения Кельвина-Фойгта.
• Будет доказана разрешимость начально-краевой задачи электродинамики в пространстве Соболева.
• Будет доказана однозначная разрешимость начально-краевой задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности в областях, которые можно преобразовать в прямоугольники (одномерный случай).
• Будет доказана однозначная разрешимость нелинейной обратной задачи определения правой части для уравнения Кельвина-Фойгта.
• Будет получены оценки решения в пространствах Соболева и Гельдера. Будет доказана разрешимость нестационарной задачи магнитной гидродинамики для вязкой несжимаемой жидкости. (2021-2022)
• Будет доказана обратная задача для уравнения тепловой конвекций с нелокальным условием переопределения.
• Будет доказана однозначная разрешимость начально-краевой задачи для нелинейного уравнения теплопроводности в областях, которые можно преобразовать в прямоугольники.
  
  

Достигнутые результаты:

• Доказано существование и единственность классического решения начально-краевой задачи для системы Стокса неоднородной жидкости.
• Доказана существование и единственность обобщенного решения начально-краевой задачи для системы Стокса неоднородной жидкости. Опубликована одна статья в зарубежном издании, входящем в перечень ВАК РФ:
  Отелбаев М., Солдатов А.П., Интегральные представления вектор-функций, основанные на параметриксе эллиптических систем первого порядка // Журнал Вычислительной Математики и математической физики. – 2021. - Т.61, №3.- С. 90-99, https://doi.org/10.31857/S0044466921030157.
• Доказана разрешимость начально-краевой задачи электродинамики в пространстве Соболева.
• Доказана теорема единственности решения линейной обратной задачи определения правой части для уравнения Кельвина-Фойгта в функциональных пространствах Соболева.
• Получены априорные оценки решения и доказана теорема разрешимости нелинейной обратной задачи определения правой части для уравнения Кельвина-Фойгта.
• Получены оценки решения в пространствах Соболева и Гельдера нестационарной задачи магнитной гидродинамики для вязкой несжимаемой жидкости. Опубликованы две статьи в журналах, входящих в базу Web of Science (Q2):
  1. Otelbaev M., Soldatov A.P., Integral Representations of Vector Functions Based on the Parametrix of First-Order Elliptic Systems // Computational Mathematics and Mathematical Physics - 2021. –Vol.61, №6. – P. 964-973. https://doi.org/10.1134/S0965542521030143
  2. Aitzhanov S.E., Berdyshev A.S., Bekenayeva K.S., Solvability Issues of a Pseudo-Parabolic Fractional Order Equation with a Nonlinear Boundary Condition // Fractal and fractional. - 2021. 5, 134. https://doi.org/10.3390/fractalfract5040134
• Доказано существование и единственность решения обратной задачи для уравнения тепловой конвекций с нелокальным условием переопределения.
• Доказана однозначная разрешимость решения нелинейного уравнения теплопроводности. Исследована разрушение, асимптотическое устойчивость и локализация решения.
  
  Список публикаций:

1. Antontsev S.N. Khompysh Kh. An inverse problem for generalized Kelvin–Voigt equation with p-Laplacian and damping term // Inverse Problems, 2021. 37(8), 085012 (Scopus: процентиль – 86%, Web of Science: Q1, SJR – 1.005) https://doi.org/10.1088/1361-6420/ac1362
2. Aitzhanov S.E., Kusherbayeva U.R., Bekenayeva K.S. Solvability of pseudoparabolic equation with Caputo fractional derivative // Chaos, Solitons & Fractals, Volume 160, July 2022, 112-193. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2022.112193 (Scopus: процентиль – 99%, Web of Science: Q1, SJR – 1.647)
3. Aitzhanov S.E., Tileuberdi Zh., Sanat G. Solvability of an initial-boundary value problem for a nonlinear pseudoparabolic equation with degeneration // Bulletin of the Karaganda University Mathematics series. -2022. -№ 1(105). -P. 4-12. DOI 10.31489/2022M1/4-12
4. B.E. Kanguzhin, B.D. Koshanov. Uniqueness Criteria for Solving a Time Nonlocal Problem for a High-Order Differential Operator Equation l(.)-A with a Wave Operator with Displacement // Symmetry 2022, 14, 1239. DOI https://doi.org/10.3390/sym14061239 (Scopus: процентиль – 93%, Web of Science: Q1, SJR – 0.544)

Состав исследовательской группы: